沖縄から帰ったら総括を書こうと思ってたんだけど、気がついたら新学期始まってたし自分は博士2年になってた
今更色々まとめるのも面倒なので書かないけど、今回のサマースクールを通して一番感じたこととして、とりあえず今学期は(出来たら英語で)映画や本にもう少し触れようと思う!😤
eye spliceはラボメンが教えてくれた曲なのだけど、普段hiphopはあまり聞かないから新鮮で良い*1
気がついたら2月をすっ飛ばしてもう3月になってた、気を抜くとすぐ1ヶ月過ぎてしまう
先週から何某のサマースクールで沖縄に来ている*2
毎日朝8時にバスで施設に向かい、200人強くらいの外国人とともに何時間も英語での授業、そして2日に1回くらいポスターセッションを経て宿に戻るのは21時ごろというかなりのハードスケジュール*3
正直自分なんかがこの1週間やり過ごせたという事実がかなり信じられない
おかげさまで夜11時くらいには眠くなり始める真人間っぷりで、今も少し眠い*4
基本的に朝から夜まで施設に収容されていて観光する暇などないのだけど、昨日は唯一丸ごと休みが取れる日だったので研究室の人たちとレンタカーで沖縄観光をした
(ホテルのwi-fiがありえん遅く、吟味するのも面倒なので適当に選んだ写真)
今までせっかく沖縄に来てたのに全然沖縄感を感じれていなかったのでめちゃくちゃ楽しかった
もう心残りはないし、さあ帰るか...と言いたいけど、まだもう4日ほど残ってるらしい🥹
1月19日に誕生日を迎えて、無事26歳になってしまった
26歳を迎えることを無事と形容するのには何だか抵抗があるけど、怪我や病気してないだけ無事なんだと思う
8,9,10歳くらいだったのがつい先日のことのように感じる(流石に昔すぎか)けど、もうその2倍以上も生きてるのかぁって考えると人生が早く感じる
そろそろ自分の人生を生きているという自覚を身につけたい、最近少し分かってきた気がするけど多分まだ全然足りてない
「誕生日にお得になること」で検索したところ、どうやら誕生日にナムコナンジャタウンやお台場ジョイポリスに行くと入場料が無料になるらしい
というわけで誕生日当日に1人でナンジャタウンに行ってきた
小さい頃は親&姉とよく行っていた記憶があるけれど、もう本当に十数年ぶりだったと思う
今のナンジャタウンは経営戦略を少し変えたっぽく、アニメなどのコラボを主軸にしているようだった
規模も昔は2階分の広さがあったのに1階だけに縮小していて、平日なのもあって客より係員の方が多い次第で場末感がえぐかった
「あれ、こんなちゃっちかったっけ...?」と少し思ってしまったり
2024年の目標として「活動時間を倍にする」を掲げていたので、その第一歩として今年に入ってから毎日の全ての行動を記録してみた
今日で記録を始めてから2週間くらいになるので、一旦ここら辺で生活の振り返り&反省をしてみようと思う
なんて悲しい見出しだろう
記録をする前から自分は休憩をしてばっかりなんだろうとは思っていたけれど、それでも思ってた3倍は休憩しかしてなくてびびった
毎日コンスタントに5~6時間ほどは休憩していた、作業をしているときと比べて休憩中は時間の進みが早すぎる
具体的には、歯磨きに30分~1時間、風呂に1時間、食事に1~1.5時間という具合で、何をするにもめちゃくちゃ時間がかかっていた
ちなみに風呂の1時間は、30分間シャワーを浴びて、浴室から出て次の行動をできるようになるまでもう30分、と言う具合
朝起きられないタイプなので食事は昼食と夕食の2回になることが多いけど、それでも単純計算で毎日4時間ほど費やしている
自分はかなり夜型なので、深夜2~3時くらいまでは作業をしていることが多いのだけど、その作業を終えてから風呂に入って寝るまでの「風呂入るのめんどくさいな〜」フェイズがかなり無駄時間になっていた
大体2~3時から風呂に入る5~6時くらいまでなので、3時間ほどダラダラ過ごしているらしい
夜はずっと真っ暗だし1人でぼーっとしているだけなので時間の経過がわかりづらかったけど、これはニートが部屋でこもってネットサーフィンをしている光景となんら変わりないと言う自覚を持ちたい
5~6時頃に寝て、大体13~15時くらいに起きていたので、毎日9~10時間くらい寝ている
ただ、この睡眠時間はベットに入った瞬間から起きるまでの時間なので、実際はこれに寝付くまでの時間も含まれていることを考えると許容範囲内じゃないかなと思っている
以上を総括すると、生活に関わる時間+休憩だけで1日24時間のうち21~23時間を費やしていることになる
こりゃ活動時間も短いですわ
ただ、記録をしたおかげで反省点もだいぶわかった気がする
なんとなくこんな感じの生活を続けて終わるのを回避できただけでもよしとしたい
反省点は優先度順に、
こうして書くと「何を当たり前のことを...」と思われているに違いないけど、当たり前のことを明示的に書かないとできないのが社会不適合者の辛いところである
とりあえず次の2週間は上記の反省点を改善できるように頑張ってみようと思う
ちなみに理想としては
と言う感じの生活がしたい(小学校低学年の頃こう言うのを書かされる宿題があった気がする)
去年最後に投稿した記事でPoincaré不等式について書いたので、その続きで今回はlog-Sobolev不等式について軽く&フォーマルに書こうと思う
Markov過程が均衡状態に収束していく様子はある意味で熱伝導方程式のように捉えることもできて、その様子を分散の指数関数的収束で特徴づけるのがPoincaré不等式だと言える
一方、(自分的には)熱の伝導といえば熱力学第二法則、すなわちエントロピーの増大を思い出すが、Markov過程の均衡への収束をエントロピーの観点から特徴づけるのがlog-Sobolev不等式である
ここではエントロピーを以下のように定義する: 測度と関数に対して
log-Sobolev不等式はエントロピーの時間経過による収束率の不等式なので、まずはとりあえず時間で微分してみると、エントロピーとFisher情報量を繋ぐ次の等式が得られる
(de Bruijn's identity) 関数に対して
上式に登場するがFisher情報量で、carré du champ operator を用いてとして定義される
特に、Fisher情報量は常に非負なので、de Bruijn's identityはエントロピーの単調減少性を示している*1
これ以降では、具体例として前回同様Ornstien-Uhlenbeck過程とその定常分布である標準正規分布について考えてみる
まずおさらいとして、Ornstein-Uhlenbeck過程のinfinitesimal generator はと書けるので、carré du champ operator は
また、Ornstein-Uhlenbeck過程はMarkov semigroupが標準正規分布に従う確率変数を用いて
これらを用いると、のFisher情報量は
以上の議論とde Bruijn's identityより、すなわち
(log-Sobolev inequality for the Gaussian measure) 任意の(適当な)非負関数と標準正規分布に対して
ちなみに一般的にFisher情報量はとも表せるので、上の式は任意の(適当な)に対して
一般的にあるMarkov過程と確率分布が「任意の(適当な)関数に対して」を満たすときにlog-Sobolev不等式を満たすと言う
上の例で言えば、Ornstein-Uhlenbeck過程はを満たす、となる
なお、はPoincaré不等式より強い主張であることが知られている
実際、となるを用いてとおけばおよび
気がつけばもう今年も終わりだ
今年は何もしてないわけではない(と思う)のでその点は自分を褒めたいけど、振り返って反省点を挙げるならとにかく活動時間の短さだと思う
周りの博士課程の人たちが毎日朝から夕方まで社会人のように研究してて、(自分もそんなに研究したら毎月論文書けるわ!)なんて思ったりしてたけど、流石にそろそろ態度を改めた方がいい気がしてきた😰
何となく研究に充てる時間を増やせばそれに反比例して効率が下がりそうで甘えていたけど、多分今の活動時間を2倍にしても何も効率は変わらない
というか現状が0*(効率)=0でやばい
最近電車に乗っている間などにMarkov過程とそれにまつわる不等式まわりの本↓を読んでたので、それについて軽くまとめようと思う
link.springer.com
毎回軽くと言いつつ少し長文になってる気がするので、今回は本当に適当&フォーマルにまとめる
Markov過程の詳しい定義は省略するとして、Markov過程に対応して次のような演算子が考えられる: 各時刻と適当な実数値関数に対して
Markov過程といえばMarkov性、すなわち時刻での変化がそれ以前の時刻での状態に依存しないという性質を持つので、Markov semigroupの時刻での瞬間的な変化、すなわち微分に注目したくなる
そこで次のような演算子、infinitesimal generatorが考えられる
例えば有名なMarkov過程としてOrnstein-Uhlenbeck過程を考えてみると、これは確率微分方程式
実は、の固有ベクトルはHermite多項式によって与えられることが知られている:
さらには (は標準正規分布)の正規直交基底なので、関数は
そもそもinfinitesimal generator はMarkov semigroup の時間微分だったことを思い出すと、という関係式が得られる
以上のことから、でに収束することがわかるが、これはMarkov過程がで平衡状態に収束している様子の現れと言える
より厳密に収束の様子を調べると、
今までの議論はinfinitesimal generatorが空間の正規直交基底で固有分解できれば同様のことが言える
具体的には、に対応する固有値をと書けば
なお、一般的に「分布がPoincaré不等式を満たす」といえばDirichlet form
いずれにせよMarkov過程における均衡への収束スピードを評価した式になっており、これは機械学習の分野でもMarkov Chain Monte Carloや確率的勾配降下法のLangevin dynamics的解釈などMarkov過程の収束スピードを知りたくなる場面は多いので、シンプルでありながら有用な不等式になっている
Ornstein-Uhlenbeck過程の場合をもう一度考えてみると、部分積分より
同様のことが上の正規分布に対しても言える
(Poincaré inequality for the Gaussian measure) を上の標準正規分布とするとき、任意の(適当な)関数に対して以下が成り立つ:
この式にはもはやOrnstein-Uhlenbeck過程が登場していないことに注目したい
このように、Markov過程の均衡への収束率を調べることによって、同時に定常分布についての不等式が得られることが度々ある(自分の興味はどちらかというとこっち)